题目地址：

https://leetcode.com/problems/find-all-duplicates-in-an-array/

给定一个长$n$的int数组，其中每个数字都属于$1\sim n$，其中有些数字出现一次，有些两次。返回那些出现过两次的数。

基本思路是，边遍历数组，边把当前的数$k$给swap到数组下标$k-1$的位置上直到不需要继续swap为止，遍历结束后，只需扫描一遍，看哪些数字不在自己“应该”在的位置上，那些数字就是出现过两次的数字。例如，对于$$(4,3,2,7,8,2,3,1)$$我们做如下交换：$$(\text{7},3,2,\text{4},8,2,3,1)$$$$(\text{3},3,2,4,8,2,\text{7},1)$$$$(\text{2},3,\text{3},4,8,2,7,1)$$$$(\text{3},\text{2},3,4,8,2,7,1)$$$$(3,2,3,4,\text{1},2,7,\text{8})$$$$(\text{1},2,3,4,\text{3},2,7,8)$$遍历结束。我们发现，凡是只出现过一次的数，都和自己应该呆的序号一一对应，而出现过两次的数，必然其中一次出现在自己“不应该呆的位置”上。也就是说，遍历过程中我们做的事是，每遍历到一个数$nums[i]$，我们就看$nums[nums[i]-1]$是否等于$nums[i]$，如果不等，我们就换过去，直到相等为止。这样遍历到结尾，每个在“不应该在的位置”上的数即为所求。代码如下：

class Solution {
    public List<Integer> findDuplicates(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            while (nums[nums[i] - 1] != nums[i]) {
                swap(nums, nums[i] - 1, i);
            }
        }
        
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (nums[i] != i + 1) {
                list.add(nums[i]);
            }
        }
        
        return list;
    }
    
    private void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int tmp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = tmp;
    }
}

时间复杂度$O(n)$，空间$O(1)$。

算法正确性证明：
首先证明，一遍遍历后，对于任意$nums$中的数字$k$，$nums[k-1]=k$。由于遍历是从左到右一个一个扫描过去的，所以$nums$中的每一个数必然会被扫描到，而一旦被扫描到，算法就会保证它应该呆的位置上的数正好等于它。所以结论成立。接下来分情况讨论：
1、如果某个数$k$只出现过一次，那么由于第一个for循环结束后$nums[k-1]=k$，所以第二个for循环里$nums[i]=k$当且仅当$i=k-1$，换句话说$k$不会被加进list里去；
2、如果某个数$k$出现过两次，那么由于第一个for循环结束后$nums[k-1]=k$，所以第二个for循环里满足$nums[i]=k$的$i$至少有两个，其中一个是$k-1$，另一个不妨设为$i^{\prime }$，那么第二个for循环遍历到$i^{\prime }$的时候，$nums[i^{\prime }]=k\ne i^{\prime }+1$，这时候会把$nums[i^{\prime }]$也就是$k$加进list里去。
所以一个数被加进list当且仅当它出现过两次，所以算法正确。

算法复杂度证明：
空间复杂度显然。对于时间复杂度只需证明swap最多执行$n$次即可。由于每次swap完后，当前的数字$k$就已经挪到了$nums[k-1]$，我们可以想象成swap完后$nums[k-1]$被染了色，显然如果进行了染色，每个位置只会被染色一次，所以染色次数显然不超过数组长度，所以swap执行次数一定不会超过数组长度。所以时间复杂度是$O(n)$。

我们有另一种观点来看这道题，可以借鉴静态链表的思想。对于$$(4,3,2,7,8,2,3,1)$$我们可以分成几条链，第一条是：$4\to 7\to 3\to 2\to 3$
$$(\text{4},\text{3},\text{2},\text{7},8,2,\text{3},1)$$当第一遍循环后，交换了$4$次（正好是链的路径长度）之后，这条链上的数已经归位了：$$(\text{3},\text{2},\text{3},\text{4},8,2,\text{7},1)$$也就是说，将来只要遍历到链上的位置，就不会再swap了。第二条链是：$8\to 1\to 3$$$(\text{3},2,3,4,\text{8},2,7,\text{1})$$交换了两次：$$(\text{1},2,3,4,\text{3},2,7,\text{8})$$可以看出链的总长度不可能超过数组总长度 + 重复数字数，当然也不会超过$O(n)$，所以时间复杂度是$O(n)$。